运动学

时间与位置¶

在物理学中，有两个物理量实际上无法被真正定义：时间 (Time) 和位置 (Position)。

时间，$t$，是最难以定义的物理量。当我们谈论时间时，我们都默认自己知道它是什么。然而，我们只能想象机械钟的"滴答"声，却无法给出一个概念性的定义。

有些哲学家认为，我们对时间的想象源于对三维世界的理解 -- 在三维世界中，"距离感"是直观的。

另一些人则持相反观点，比如康德。他们认为，我们之所以产生"将距离量化"为某种尺度的兴趣，恰恰源于时间 -- 因为时间始终在流逝。对时间的感知，来自对死亡的意识，而死是所有存在的终点。

无论如何，在物理学中，我们只讨论时间的测量、不同视角或参考系中时间流逝速率的差异（相对论），有时也讨论时间的起源。而非时间本身。

我们用圣奥古斯丁的一句话来结束关于时间的讨论：

我知道它是什么，但当你问我时，我却不知道了。

另一个是位置。与时间不同，在物理学中，我们一直在使用位置的概念，也确实在数学上定义了它。然而，关于位置的讨论隐性地依赖于我们预先设定的"原点"。你可以指出空间中的一个位置，但要写下这个点的实际数学描述 -- 即一个具体的坐标 -- 你需要先定义一个坐标系，比如笛卡尔坐标系。

因此，在物理学中，我们更倾向于使用位移 (Displacement)，即相对位置。它可以相对于一个原点，也可以相对于另一个物体。物理现象不会因此受到影响，只有方程或数字会改变。

关于位置的严格处理，将留到刚体运动的讨论中进行。

线位移¶

给定一个原点 $O$ 和一些基向量（在物理学中，通常为三维），使得任意物体 $A$ 和 $B$ 的位置可以写为：

物理学中的相对位置，即线位移，因此定义为：

通常记作 $\vec{r}$，且是时间的函数 $\vec{r} = \vec{r}(t)$。

它是相对的，因为它不包含起点和终点各自的独立信息。

为方便起见，向量的两种记法在物理学中可以互换使用：

唯一的区别是，第二种记法显式地写出了基向量，因此你知道我们使用的是哪种坐标系；第一种则不写出，所以也可以用于其他类型的坐标系，比如球极坐标。

除非明确指定，否则我们默认第一种记法使用的是笛卡尔坐标系。

线速度¶

质点的线速度是线位移的变化率：

线加速度¶

质点的线加速度是线速度的变化率：

运动方程的形式解¶

有了定义之后，我们可以用它们来找到描述物体运动状态（即位移和速度）的方程。加速度、速度和位移之间的关系称为运动方程。

类似地，

二维坐标系中的速度与加速度¶

在二维情况下，有两种自然的坐标系选择：

1. 笛卡尔坐标系，$(x, y)$

2. 极坐标系，$(r, \theta)$，其中 $\theta$ 以逆时针方向为正，$\theta \in (0, 2\pi)$

笛卡尔坐标系中¶

使用乘积法则，有：

由几何关系可知，$\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 的方向不随时间改变，因此变化率为零：

类似地，

极坐标系中¶

在笛卡尔坐标系中求速度和加速度是平凡的。然而，在极坐标系中，我们必须注意方向的变化。

这里，$\hat{e}_r$ 是径向方向，且是角度的函数，即 $\hat{e}_r = \hat{e}_r(\theta)$。

于是：

对于第二项，我们需要应用链式法则：

为了理解 $\frac{d \hat{e}_r(\theta)}{d \theta}$ 是什么，我们可以先考虑极坐标与笛卡尔坐标之间的关系：

显然，$\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 不依赖于 $\theta$，因此：

显然，它满足基向量的正交性，即 $\hat{e}_r \cdot \hat{e}_\theta = 0$。

因此：

其中 $\omega = \frac{d \theta}{dt}$ 是角速度，即角位移（角度）的变化率。（关于它的更多内容，特别是其向量形式，将在后续展示。）

类似地，

为了求解最后一项，我们可以再次借助笛卡尔坐标系：

因此：

其中 $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ 是角加速度，即角速度的变化率。